Всего: 179 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
разность F(k) − G(k) не кратна 100?
делится на a – b. Тогда числа 
и 
делятся на 100, а тогда на 100 делится и их разность: 
то есть 
делится на 100. Противоречие. 
то есть 
Противоречие.Пункты A и B, находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта A из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, а на аллее — 20 км/ч, а скорость пешехода — 6 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.
ч.
ч
Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять 
км/ч.
ч.
ч.
км. Точку, где сейчас находятся пешеход и велосипедист, назовём точкой C.
ч,
ч.
ч;
ч.
В прямоугольном треугольнике ABC на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к окружности, которая пересекает катет CB в точке D. Найдите длину DB, если AE = 6, а BE = 2.
поскольку опирается на диаметр. Во-вторых, DE и DC — касательные к окружности из условия, поэтому 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике CEB на гипотенузе BC отмечена такая точка D, что 
хорошо известно, что тогда D середина этой гипотенузы, 
и 
Получаем, что 
по теореме Пифагора 
и 
не может являться решением нашей системы. Для окончания решения необходимо проверить, что найденные числа подходят: 
Решениями этого уравнения является совокупность 
то наибольшими отрицательными корнями серий из совокупности являются числа 
и 
где 
то 
получаем, что ответ равен 
От участников подобного упрощения не требовалось.
имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
есть три различных корня x1, x2, x3. Воспользуемся теоремой Виета для многочлена третьей степени: 
Тогда из равенства 
имеем 
откуда 
Дискриминант этого выражения равен 
поэтому такое q, а с ним и x1, x2, x3, найдутся. Тогда 
Про тетраэдр PQRS известно, что PQ = 4, SR = 6, 
Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек P, Q, R, S не меньше 
Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Следовательно, радиус описанной сферы равен 3, а точка O — её центр.
сферическое расстояние между точками X и Y. По условию задачи необходимо найти площадь множества 
на сфере, состоящего в точности из точек M, для которых 
в неравенство (2), получаем 
то PQ не является диаметром, а потому 
Итак, ω есть множество точек на сфере, сферическое расстояние от которых до одной точки на сфере не превосходит сферического расстоянии до другой точки на сфере. В силу симметрии (относительно плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно отрезку Q1P), ω — половина сферы и её площадь равна 
т. е. половина площади сферы радиуса 3.
для любого 
Докажите, что если 
то 
поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция 
возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами. 
как следует из условия, неотрицательно. 
Пете необходимо спаять электрическую схему, состоящую из 10 чипов, соединенных между собой проводами (один провод соединяет два различных чипа; два чипа может соединять не более одного провода), при этом из одного чипа должно выходить 9 проводов, из одного — 8, из одного — 7, из двух — по 5, из трех — по 3, из одного — 2, из одного — 1. Может ли Петя спаять такую схему?
тогда если реализуема последовательность (a1, 
тогда если реализуема последовательность (a1, 
то вершина с номером i должна быть соединена со всеми остальными вершинами, поэтому достаточно откинуть её и все выходящие из неё рёбра.
до n — таких не больше 
но каждое мы можем посчитать по два раза.
Можно ли, переставив коэффициенты в нем, получить многочлен 
такой, что для всех натуральных чисел 
и 
делятся на 2020, а тогда на 2020 делится и их разность: 
делится на 2020. Противоречие. 
то есть 
Пункты A и B, находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта A из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, а на аллее — 20 км/ч, а скорость пешехода — 7 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.
км.
ч.
ч
Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять 
км/ч.
ч.
ч.
км.
ч,
ч.
ч;
ч.
В прямоугольном треугольнике PQR на катете PR как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу PQ в точке T. Через точку T проведена касательная к окружности, которая пересекает катет RQ в точке S. Найдите длину SQ, если PT = 15, а QT = 5.
поскольку опирается на диаметр. Во-вторых, ST и SR — касательные к окружности из условия, поэтому 
Следовательно, в прямоугольном треугольнике RTQ на гипотенузе QR отмечена такая точка S, что 
хорошо известно, что тогда S — середина этой гипотенузы, 
и 
Получаем, что 
по теореме Пифагора 
не может являться решением нашей системы. 
и 
тогда 
Решениями этого уравнения является совокупность 
и 
где 
получаем, что ответ равен 
От участников подобного упрощения не требовалось.
имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
имеем 
откуда 
Дискриминант этого выражения равен 
поэтому такое q, а с ним и x1, x2, x3, найдутся. Тогда 
Про тетраэдр XYZT известно, что XY = 6, TZ = 8, 
Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек X, Y, Z, T не меньше 
Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Следовательно, радиус описанной сферы равен 4, а точка 
её центр.
то XY не является диаметром, а потому 
Итак, 
для любого 
Докажите, что если 
то 
поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция 
возрастает на промежутке [0; 1]. Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами. 
как следует из условия, неотрицательно. 
В кружок ходит 10 человек, некоторые из которых между собой дружат. Может ли так быть, что в этом кружке один участник дружит с 9 другими, один участник — с 7 другими, один участник — с 6 другими, два участника — с 5 другими каждый, два участника — с 3 другими каждый, один участник — с 2 другими, два участника — с 1 другим каждый?
